魔方陣 - 汎用的な単偶数次魔方陣の作り方

数学


　今回は最も作成が難しい場合として、正方形一辺の升数が４の倍数に２を加へたものを紹介する。模範例として１０×１０の魔方陣（１０次魔方陣）で説明する。この方法は従来の理論的な解法と違ひ、補助升目や升目の移動交換が不要な清書解法である（消しゴムや計算用紙が不要で、万年筆などの清書用筆記具で１から順番に記入することで作成できる解法）。これによって、奇数次魔方陣、複偶数次魔方陣、単偶数次魔方陣すべての魔方陣に対して、清書解法が存在することが証明された。
　前回、説明したやうに８次魔方陣は簡単に作成できる。したがって、１０次魔方陣を作る場合は、中央の８×８の升目で魔方陣が完成することを前提とし、周囲にある（１０×１０−８×８＝）３６升の配置を考へる。３６升に配置する数値は、１から１００までの数値から中央にある６４個を除いて、最初の１８個（１〜１８）と最後の１８個（８３〜１００）になる。

  • (1) 左上隅に１、右上隅に２を書き込み、点対称の位置にある升目の合計が１０１になるやうに、９９を左下隅に１００を右下隅に書き込む。
_1 __ __ __ __ __ __ __ __ _2
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
99 __ __ __ __ __ __ __ __ 100
  • (2) 上辺には、１，２といふ１８以下の数値が２個含まれるので、バランスを取るために、下辺に３、４を書き込む。これで上辺と下辺とも１８以下の数値が２個づつ含まれることになる。
_1 __ __ __ __ __ __ __ __ _2
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
99 _3 _4 __ __ __ __ __ __ 100
  • (3) ４の隣に５を書き込み、上辺と下辺を千鳥縫ひするやうに数字を順次書き込む。この操作によって、上辺と下辺とも、１８以下の数値がそれぞれ５個づつ含まれることになる。ただし、最後の升目だけは、下辺の合計（３＋４＋５＋８＋９＝２９）と上辺の合計を同じ値にするために、計算式（２９−（１＋６＋７＋２））を解き１３を書き込む。（１３といふ数値を説明するために、上辺と下辺の合計値の差を計算したが、運用上は「最後の升目だけ直前の数に４を加へる」と覚えておけば複雑な計算は不要になる。）
_1 __ __ __ _6 _7 __ __ 13 _2
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ __
99 _3 _4 _5 __ __ _8 _9 __ 100
  • (4) 次に、左辺と右辺を千鳥縫ひするやうに１０から１８まで書き込む。この操作は１８以下の数値を左辺と右辺にそれぞれ４個づつ分配する。ただし、１３は既に上辺に書き込まれてゐるので、１２の次は１３を抜かして１４になる。
_1 __ __ __ _6 _7 __ __ 13 _2
10 __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ 11
__ __ __ __ __ __ __ __ __ 12
14 __ __ __ __ __ __ __ __ __
15 __ __ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __ __ 16
__ __ __ __ __ __ __ __ __ 17
18 __ __ __ __ __ __ __ __ __
99 _3 _4 _5 __ __ _8 _9 __ 100
  • (5) ３から１８までの升目から見て線対称の位置にある升目に、合計して１０１になるやうに８３から９９までの数を書き込む。これで周囲が完成する。
_1 98 97 96 _6 _7 93 92 13 _2
10 __ __ __ __ __ __ __ __ 91
90 __ __ __ __ __ __ __ __ 11
89 __ __ __ __ __ __ __ __ 12
14 __ __ __ __ __ __ __ __ 87
15 __ __ __ __ __ __ __ __ 86
85 __ __ __ __ __ __ __ __ 16
84 __ __ __ __ __ __ __ __ 17
18 __ __ __ __ __ __ __ __ 83
99 _3 _4 _5 95 94 _8 _9 88 100
  • (6) 最後に内側の８次魔方陣を１９から８２までの数で埋めて完成する。
_1 98 97 96 _6 _7 93 92 13 _2
10 19 81 80 22 23 77 76 26 91
90 74 28 29 71 70 32 33 67 11
89 66 36 37 63 62 40 41 59 12
14 43 57 56 46 47 53 52 50 87
15 51 49 48 54 55 45 44 58 86
85 42 60 61 39 38 64 65 35 16
84 34 68 69 31 30 72 73 27 17
18 75 25 24 78 79 21 20 82 83
99 _3 _4 _5 95 94 _8 _9 88 100