x^n = 1 を解く

数学

参考、二次方程式の解の公式

ax^2+bx+c=0 (a\ne0) → x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

まづ一次方程式、解は自明。

x=1

次に二次方程式、因数分解を使ふ。

x^2=1
x^2-1=0
(x-1)(x+1)=0
x=\pm1

三次方程式、因数分解と二次方程式の解の公式を使ふ。

x^3=1
x^3-1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0
x=1,x^2+x+1=0
x=1,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}2

四次方程式、因数分解を使ふ。

x^4=1
x^4-1=0
(x^2-1)(x^2+1)=0
(x-1)(x+1)(x^2+1)=0
x=\pm1,x^2=-1
x=\pm1,\pm{i}

跳ばして、六次方程式、因数分解と二次方程式の解の公式を使ふ。

x^6=1
x^6-1=0
(x^3-1)(x^3+1)=0
(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)=0
x=\pm1,x^2+x+1=0,x^2-x+1=0
x=\pm1,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}2,\frac{1\pm\sqrt{3}i}2

本日のメイン、五次方程式、因数分解と二次方程式の解の公式と頭を使ふ。

x^5=1
x^5-1=0
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
x=1,x^4+x^3+x^2+x+1=0

x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=0
x^4+x^3+x^2+x+1=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1=0
a+b=1,ab+2=1
a(1-a)+2=1
-a^2+a+1=0
a^2-a-1=0
(a,b)=(\frac{1+\sqrt5}2,\frac{1-\sqrt{5}}2),(\frac{1-\sqrt5}2,\frac{1+\sqrt{5}}2)

x^2+\frac{1+\sqrt5}{2}x+1=0
x=\frac{-\frac{1+\sqrt5}2\pm\sqrt{(\frac{1+\sqrt5}2)^2-4}}2
x=\frac{-1-\sqrt5\pm\sqrt{(1+\sqrt5)^2-16}}4
x=\frac{-1-\sqrt5\pm\sqrt{10-2\sqrt5}i}4

x^2+\frac{1-\sqrt5}{2}x+1=0
x=\frac{-\frac{1-\sqrt5}2\pm\sqrt{(\frac{1-\sqrt5}2)^2-4}}2
x=\frac{-1+\sqrt5\pm\sqrt{(1-\sqrt5)^2-16}}4
x=\frac{-1+\sqrt5\pm\sqrt{10+2\sqrt5}i}4

x=1,\frac{-1-\sqrt5\pm\sqrt{10-2\sqrt5}i}4,\frac{-1+\sqrt5\pm\sqrt{10+2\sqrt5}i}4